Год публикации: 2010

Библиографическая ссылка:: Старченко И.Б., Вишневецкий В.Ю. Практикум по курсу «Математическое моделирование биологических процессов и систем». — Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. — 36 с.

Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.

Данное учебное пособие предназначено для изучения математических закономерностей биофизических процессов и систем. Рассмотрены четыре задания, описывающие примеры моделирования речевого тракта, слухового аппарата, электрического генератора сердца и конкурентного отбора. Пособие может быть использовано при подготовке бакалавров и магистров по направлению 201000 «Биотехнические системы и технологии», а также для студентов технических вузов, обучающихся по медико-техническим специальностям.

Содержание:

Математическое моделирование биологических процессов: Учебное пособие

Страницы работы

Содержание работы

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Государственное высшее учебное заведение

Гомельский государственный медицинский институт

Кафедра медицинской и биологической физики

Гомель, 2003 г.

УДК 57.082.14.002.2

Разработали: Стародубцева М. Н., Кузнецов Б. К.

Учебное пособие по теме «Математическое моделирование биологических процессов»

Пособие содержит две лабораторные работы, знакомящие студентов-медиков с основами математического моделирования биологических процессов, одна из них (два занятия) реализована в системе компьютерной алгебры Mathcad. В первой работе «Моделирование функционирования сердечно-сосудистой системы» рассматривается математическое моделирование биологических процессов, в том числе модели функционирования сердечно-сосудистой системы. Рассматривается системный подход в моделировании функционирования сложных объектов, принципы составления систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение биологического объекта, а также такие понятия, как устойчивые и неустойчивые состояния, бифуркации, осцилляторы, синхронизация процессов. В практической части работы содержится алгоритм вычисления параметров кровообращения в покое и после нагрузки по опытным данным и методы их статистического анализа. В второй работе, связанной с компьютерным моделированием, содержится описание пользовательского интерфейса, входного языка системы Mathcad, основных методов вычислений (вычисление арифметических выражений, нахождение производных функций, интегралов, решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений), основ построения графиков, некоторых функций статистики (вычисление среднего значения, стандартного отклонения, нахождение уравнения линейной регрессии и коэффициента корреляции).

Для студентов 1-го курса медицинских высших учебных заведений всех факультетов.

профессор, д.б.н, заведующий кафедрой биофизики Физического факультета Белгосуниверситета,

к.ф.-м.н., заведующий кафедрой информационных технологий Гомельского государственного технического университета им. П. О. Сухого.

Утверждено Научно-методическим советом института в качестве учебного пособия _____________ 2003 г., протокол № ____ по теме: «Математическое моделирование биологических процессов»

Ó Гомельский государственный медицинский институт, 2003 г.

Тема: Математическое моделирование биологических

Лабораторная работа 1

Математическое моделирование биологических процессов.

Моделирование функционирования сердечно-сосудистой

Время занятия – 135 минут.

Цель: Изучить современные модели сердечно-сосудистой системы и показать на их примере эффективность применения метода моделирования для оценки состояния и выявления характерных особенностей поведения сложных биологических объектов.

1.1.1. Математическое моделирование биологических процессов. Биофизика сложных систем.

Функционирование сложной биологической системы, в том числе сердечно-сосудистой системы, является результатом взаимодействия составляющих ее элементов и протекающих в ней процессов. Следует иметь в виду, что согласно общему принципу восходящей иерархии типов движения (механическое – физическое – химическое – биологическое – социальное), биологическая форма движения не может быть полностью сведена к механической, физической или химической форме движения, а биологические системы не могут быть полностью описаны с позиций какой-либо одной из этих форм движения. Эти формы движения могут служить моделями биологической формы движения, то есть ее упрощенными образами.

Выяснить основные принципы регулирования процессов сложной биологической системы можно с помощью построения сначала механической, физической или химической модели системы, а затем построения их математических моделей, то есть отыскания описывающих эти модели математических функций, в том числе уравнений (создания математических моделей). Чем ниже уровень иерархии – тем проще модель, тем больше факторов реальной системы исключаются из рассмотрения.

Моделирование – это метод, при котором производится замена изучения некоторого сложного объекта (процесса, явления) исследованием его упрощенного аналога — модели. В биофизике, биологии и медицине широко применяются физические, химические, биологические и математические модели. Например, течение крови по сосудам моделируется движением жидкости по трубам (физическая модель). Биологическая модель – это простые биологические объекты, удобные для экспериментального исследования, на которых изучают свойства реальных более сложных биологических систем. Например, закономерности возникновения и распространения потенциала действия по нервному волокну были изучены на биологической модели – гигантском аксоне кальмара.

Математическая модель – это совокупность математических объектов и отношений между ними, отражающая интересующие исследователя свойства и характеристики реального объекта. Адекватную математическую модель можно построить только с привлечением конкретных данных и представлений о механизмах сложных процессов. После построения математическая модель «живет» по своим внутренним законам, познание которых позволяет выявить характерные черты исследуемой системы (см. схему на рис. 1.1.). Результаты моделирования составляют основу управления процессами любой природы.

Биологические системы, по сути, являются чрезвычайно сложными структурно-функциональными единицами.

Рис. 1.1. Схема системного подхода в моделировании биологического объекта.

Чаще всего математические модели биологических процессов задаются в виде дифференциальных или разностных уравнений, но возможны и другие типы представлений модели. После того как модель построена, задача сводится к изучению ее свойств методами математической дедукции или путем машинного моделирования.

При изучении сложного явления обычно предлагают несколько альтернативных моделей. Проверяют качественное соответствие этих моделей объекту. Например, устанавливают наличие устойчивых стационарных состояний в модели, существование колебательных режимов. Модель, наилучшим образом соответствующую исследуемой системе, выбирают в качестве основной. Выбранную модель уточняют применительно к конкретной исследуемой системе. Задают числовые значения параметров по экспериментальным данным.

Процесс поиска математической модели сложного явления можно разделить на этапы, последовательность и взаимосвязь которых отражает схема ни рис. 1.2.

Рис. 1. 2. Схема поиска математической модели.

Этап 1 соответствует сбору имеющихся к началу исследования данных об изучаемом объекте.

На этапе 2 осуществляется выбор базовой модели (системы уравнений) из возможных альтернативных моделей по качественным признакам.

На этапе 3 производится идентификация параметров модели по экспериментальным данным.

На этапе 4 осуществляется проверка поведения модели на независимых экспериментальных данных. Для этого часто приходится ставить дополнительные эксперименты.

Если взятые для верификации модели экспериментальные данные «не вписываются» в модель, требуется проанализировать ситуацию и выдвинуть иные модели, исследовать свойства этих новых моделей, а затем поставить эксперименты, позволяющие сделать вывод о предпочтительности одной из них (этап 5).

Другие публикации:  Судебные приставы иваново официальный сайт конфискат иваново

Математическое моделирование биологических процессов учебное пособие

Г.Ю. Ризниченко — профессор, био-фак МГУ им. М.В. Ломоносова

ЛЕКЦИЯ 1
ВВЕДЕНИЕ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В БИОЛОГИИ

Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитацуионного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.

Компьютеры в современном мире стали привычными для человеческой деятельности: в финансовой сфере, в бизнесе, промышленности, образовании, сфере досуга. Благодаря компьютерам западной цивилизации удалось существенно продвинуться в следующих направлениях.

  • Автоматизация трудовой деятельности во всех сферах
  • Информационная революция. Возможность хранить и структурировать огромные и самые разнообразные массивы информации и производить быстрый и эффективный поиск необходимой информации.
  • Прогнозирование. Компьютер позволяет строить имитационные модели сложных систем, проигрывать сценарии и делать прогнозы.
  • Оптимизация. Любая человеческая деятельность, в том числе обыденная жизнь требует постоянной оптимизации действий. В процессе эволюции сформировались биологические системы, которые оказываются оптимальными в том или ином смысле, например, в смысле наиболее экономичного использования энергии. Для того чтобы формализовать целевую функцию, то есть ответить на вопрос, что же является для системы оптимальным, необходимо сформулировать модель оптимизируемого процесса и критерии оптимизации. Компьютер позволяет проектировать и реализовать различные алгоритмы оптимизации.

Компьютер работает не с самой системой, а с моделью. Что же такое МОДЕЛЬ?

Наиболее простой и общий ответ на этот вопрос: модель — это копия объекта, в некотором смысле «более удобная», допускающая манипуляции в пространстве и во времени.

При моделировании, выборе и формулировке модели, определяющими обстоятельствами являются объект, цель и метод (средства) моделирования.
В нашем курсе объектами моделирования будут биологические процессы разного уровня организации.

Методами моделирования служат методы динамической теории систем. Средства — дифференциальные и разностные уравнения, методы качественной теории дифференциальных уравнений, компьютерная симуляция.

  1. Выяснение механизмов взаимодействия элементов системы
  2. Идентификация и верификация параметров модели по экспериментальным данным.
  3. Оценка устойчивости системы (модели). Само понятие устойчивости требует формализации.
  4. Прогноз поведения системы при различных внешних воздействиях, различных способах управления и проч.
  5. Оптимальное управление системой в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Примеры моделей.
1. Портрет дамы.

Пусть некто заказывает художнику написать портрет любимой женщины. Рассмотрим объект, метод (средства) и цель моделирования.
Объектом моделирования является женщина.

Метод (средства) — краски, кисти, холст. Эмаль, если портрет будет сделан на медальоне, как это было принято в прошлые века. Фотоаппарат и пленка. Рекламный щит, если некто хочет, чтобы его даму видели все, кто проезжает по оживленной магистрали. Обложка журнала, или экран телевизора. Наконец, сам художник, фотограф или рекламное агентство в лице своих дизайнеров.

Цель. При моделировании целью, как правило, является манипуляция с пространством и временем. Сохранить облик дамы во времени. Повесить портрет в гостиной, или медальон с изображением любимой — на шею, как это делали в старину. Чтобы потомки восхищались красотой дамы и своим пращуром, которому удалось запечатлеть такую красоту.
Другая цель — воспроизведение изображения (модели) объекта с целью сделать модель доступной некоторому кругу людей. Или многократно тиражировать, если некто хочет, чтобы образ дамы увидели миллионы.

2. Самолет в аэродинамической трубе. Помещая самолет в аэродинамическую трубу и испытывая его в различных воздушных потоках, мы решаем задачу взаимодействия системы с внешней средой. Это еще одна очень важная цель моделирования. При этом в корпусе самолета не обязательно должны находиться кресла, и тем более, стюардессы. Какие из свойств объекта необходимо учесть, а какие можно опустить, степень подробности воспроизведения моделью объекта, определяется теми вопросами, на которые хотят ответить с помощью модели.

3. Аквариум является примером физического моделирования. В аквариуме можно моделировать водную экосистему — речную, озерную, морскую, заселить ее некоторыми видами фито- и зоопланктона, рыбами, поддерживать определенный состав воды, температуру, даже течения. И строго контролировать условия эксперимента. Какие компоненты естественной системы будут воспроизведены, и с какой точностью, зависит от цели моделирования.

4. Выделенные из листьев хлоропласты. На выделенных системах часто изучают процессы, происходящие в живой системе, в этом смысле фрагмент является моделью целой живой системы. Выделение более простой системы позволяет исследовать механизмы процессов на молекулярном уровне. При этом исключается регуляция со стороны более высоких уровней организации, в данном случае, со стороны растительной клетки, листа, наконец, целого растения. В большинстве случаев наблюдать процессы на молекулярном уровне в нативной (ненарушенной) системе не представляется возможным. Говорят, что изученные на выделенном хлоропласте первичные процессы фотосинтеза являются моделью первичных процессов фотосинтеза в живом листе. К сожалению, этот метод фрагментирования приводит к тому, что «…живой ковер жизни распускается по ниточкам, каждая ниточка досконально изучается, но волшебный рисунок жизни оказывается утрачен» (лауреат Нобелевской премии по биохимии Л. Поллинг).

5. Бислойная липидная мембрана. Еще «более модельным» примером является изучение процессов ионного трансмембранного переноса на искусственной бислойной липидной мембране. Понятно, что в реальных биологических объектах мембраны чаще всего не бислойные, а многослойные, содержат встроенные белки и другие компоненты, поверхность их не является плоской и обладает множеством других индивидуальных особенностей. Однако, чтобы изучить законы образования поры, через которую ион проходит сквозь мембрану внутрь клетки или органеллы, необходимо создать «чистую», «модельную» систему, которую можно изучать экспериментально, и для которой можно использовать хорошо разработанное наукой физическое описание.

6. Популяция дрозофилы, является классическим объектом моделирования микроэволюционного процесса и примером исключительно удачно найденной модели. Еще более удобной моделью являются вирусы, которые можно размножать в пробирке. Хотя не вполне ясно, справедливы ли эволюционные закономерности, установленные на вирусах, для законов эволюции высших животных. В лекции 11 мы увидим, что хорошей моделью микроэволюционных процессов являются также микробные популяции в проточном культиваторе.
Из приведенных примеров видно, что любая физическая модель обладает конкретными свойствами физического объекта. В этом ее преимущества, но в этом и ее ограничения.

Компьютерные модели содержат «знания» об объекте в виде математических формул, таблиц, графиков, баз данных и знаний. Они позволяют изучать поведение системы при изменении внутренних характеристик и внешних условий, проигрывать сценарии, решать задачу оптимизации. Однако каждая компьютерная реализация соответствует конкретным, заданным параметрам системы. Наиболее общими и абстрактными являются математические модели.

Математические модели описывают целый класс процессов или явлений, которые обладают сходными свойствами, или являются изоморфными. Наука конца 20 века — синергетика, показала, что сходными уравнениями описываются процессы самоорганизации самой разной природы: от образования скоплений галактик до образования пятен планктона в океане.

Если удается сформулировать «хорошую» математическую модель, для ее исследования можно применить весь арсенал науки, накопленный за тысячелетия. Недаром многие классики независимо высказывали одну и ту же мудрую мысль:

Другие публикации:  Закон о тишине свердловская

«Область знания становится наукой, когда она выражает свои законы в виде математических соотношений»

С этой точки зрения самая «научная» наука ? физика. Она использует математику в качестве своего естественного языка. Все физические законы выражаются в виде математических формул или уравнений.

В химию математика пришла в тридцатые годы 20 века вместе с химической кинетикой и физической химией. Сейчас книги по химии, в особенности по химической кинетике, физической химии, квантовой химии полны математическими символами и уравнениями.

Чем более сложными являются объекты и процессы, которыми занимается наука, тем труднее найти математические абстракции, подходящие для описания этих объектов и процессов. В биологию, геологию и другие «описательные науки» математика пришла по настоящему только во второй половине 20 века.

Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Эта область математической биологии и в дальнейшем служила математическим полигоном, на котором «отрабатывались» математические модели в разных областях биологии. В том числе модели эволюции, микробиологии, иммунологии и других областей, связанных с клеточными популяциями.

Самая первая известная модель, сформулированная в биологической постановке, ? знаменитый ряд Фибоначчи, который приводит в своем труде Леонардо из Пизы в 13 веке. Это ряд чисел, описывающий количество пар кроликов, которые рождаются каждый месяц, если кролики начинают размножаться со второго месяца и каждый месяц дают потомство в виде пары кроликов. Ряд представляет последовательность чисел:

Математическая биология

Учебники и монографии

Плюснина Т. Ю., Фурсова П. В., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю.
Математические модели в биологии
Изд. 2-e доп. Учебное пособие. М.-Ижевск: НИЦ: «Регулярная и хаотическая динамика», 2014. 136 с. ISBN: 978-5-4344-0224-8

Учебное пособие по курсу «Математические модели в биологии» написано на основании многолетнего опыта ведения семинаров и компьютерного практикума для студентов второго курса Биологического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Материал представлен в виде семинаров, в которых излагаются теоретические положения и методы решения задач с подробным разбором примеров. Предлагаются задачи, которые могут быть использованы как для домашних заданий, так и для контрольных работ. Среди основных тем семинаров можно выделить анализ базовых моделей роста популяций и взаимодействия видов, триггерных и колебательных биологических процессов. Большое внимание уделено построению фазовых и кинетических портретов систем. Пособие предназначено для преподавателей курса математического моделирования в биологии, а также аспирантов и студентов биологических специальностей, изучающих курс математического моделирования. Оно также может быть использовано при преподавании курса математических моделей в экологии.

Andrew Rubin, Galina Riznichenko
Mathematical Biophysics
Springer, 2014, XV, 273 p. 150 illus., 43 illus. in color. ISBN: 978-1-4614-8701-2 (Print) 978-1-4614-8702-9 (Online). Series: Biological and Medical Physics, Biomedical Engineering.

This book presents concise descriptions and analysis of the classical and modern models used in mathematical biophysics. The authors ask the question «what new information can be provided by the models that cannot be obtained directly from experimental data?» Actively developing fields such as regulatory mechanisms in cells and subcellular systems and electron transport and energy transport in membranes are addressed together with more classical topics such as metabolic processes, nerve conduction and heart activity, chemical kinetics, population dynamics, and photosynthesis. The main approach is to describe biological processes using different mathematical approaches necessary to reveal characteristic features and properties of simulated systems. With the emergence of powerful mathematics software packages such as MAPLE, Mathematica, Mathcad, and MatLab, these methodologies are now accessible to a wide audience.

Ризниченко Г. Ю.
Лекции по математическим моделям в биологии
Изд-во РХД, М–Ижевск, 2011 г. 560 стр. ISBN 978-5-93972-847-8

Книга представляет собой лекции по математическому моделированию биологических процессов и написана на основании материала курсов, читаемых на биологическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. В 24 лекциях изложены классификация и особенности моделирования живых систем, основы математического аппарата, применяемого для построения динамических моделей в биологии, базовые модели роста популяций и взаимодействия видов, модели мультистационарных, колебательных и квазистохастических процессов в биологии. Рассматриваются методы изучения пространственно-временного поведения биологических систем, модели автоволновых биохимических реакций, распространения нервного импульса, модели раскраски шкур животных и другие. Особое внимание уделено важному для моделирования в биологии понятию иерархии времен, современным представлениям о фракталах и динамическом хаосе. Последние лекции посвящены современным методам математического и компьютерного моделирования процессов фотосинтеза. Лекции предназначены для студентов, аспирантов и специалистов, желающих ознакомиться с современными основами математического моделирования в биологии.

Вы можете загрузить некоторые главы книги, посвящённые моделированию процессов фотосинтеза:

  • Глава 22. Модели фотосинтетического электронного транспорта. Описание переноса электрона в комплексах молекул-переносчиков
    • Загрузить PDF
    • Открыть в Google Docs
  • Глава 23. Кинетические модели процессов в фотосинтетической мембране
    • Загрузить PDF
    • Открыть в Google Docs
  • Глава 24. Прямые многочастичные компьютерные модели процессов в фотосинтетической мембране
    • Загрузить PDF
    • Открыть в Google Docs

Мятлев В. Д., Панченко Л. А., Ризниченко Г. Ю., Терёхин А. Т.
Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели
М.: Академия, 2009

В учебном пособии изложены преимущественно вопросы анализа биологических данных и в качестве основы использованы методы теории вероятностей и математической статистики; представлено моделирование динамики биологических процессов, основанное на применении математического аппарата дифференциальных управлений. Для студентов учреждений высшего профессионального образования.

Фурсова П. В., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю.
Математические модели в биологии
Учебное пособие. М.-Ижевск: НИЦ: «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. 108 с.

Учебное пособие по курсу «Математические модели в биологии» написано на основании многолетнего опыта ведения семинаров и компьютерного практикума для студентов второго курса Биологического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Материал представлен в виде семинаров, в которых излагаются теоретические положения и методы решения задач с подробным разбором примеров. Предлагаются задачи, которые могут быть использованы как для домашних заданий, так и для контрольных работ. Среди основных тем семинаров можно выделить анализ базовых моделей роста популяций и взаимодействия видов, триггерных и колебательных биологических процессов. Большое внимание уделено построению фазовых и кинетических портретов систем. Пособие предназначено для преподавателей курса математического моделирования в биологии, а также аспирантов и студентов биологических специальностей, изучающих курс математического моделирования. Оно также может быть использовано при преподавании курса математических моделей в экологии.

Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б.
Биофизическая динамика продукционных процессов
Москва-Ижевск, Изд. ИКИ, 2004, 464 с.

Учебное пособие написано по материалам лекций, читаемых в последние годы на биологическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. В книге обсуждаются основные биофизические закономерности и математические модели биологических продукционных процессов. Модели представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных, а также матричные и стохастические модели. Рассмотрены продукционные процессы в одно-, двух- и многовидовых биологических сообществах, процессы роста и развития микробных популяций, факторы, определяющие продуктивность водных экосистем. Особое внимание уделено изучению закономерностей пространственно-временной самоорганизации продукционных систем. Для студентов и аспирантов биологических специальностей, а также для специалистов, использующих кинетические модели продукционного процесса в научной и практической работе.

Другие публикации:  Приказ 178 от 22082019

Ризниченко Г. Ю.
Математические модели в биофизике и экологии
Москва-Ижевск, ИКИ, 2003, 184 с

В книге излагаются основные базовые модели, используемые в биологии, динамике популяций, экологии и биофизике.

Ризниченко Г. Ю.
Лекции по математическим моделям в биологии
М-Ижевск, Изд. РХД, 2002, 236 с.

Книга представляет собой первую часть лекций по математическому моделированию биологических процессов и посвящена описанию поведения биологических систем во времени. В двенадцати лекциях изложены классификация и особенности моделирования живых систем, основы математического аппарата, применяемого для построения динамических моделей в биологии, базовые модели роста популяций и взаимодействия видов, модели мультистационарных, колебательных и квазистохастических процессов биологических процессов разного уровня. Особое внимание уделено важному для моделирования в биологии понятию иерархии времен, современным представлениям о фракталах и динамическом хаосе. Лекции предназначены для студентов, аспирантов и специалистов, желающих ознакомиться с современными основами математического моделирования в биологии.

Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б.
Математические модели биологических продукционных процессов
М., 1993. 301 c.

Учебное пособие по математическому моделированию сложных биологических систем. Рассмотрены основные принципы моделирования продукционных процессов, классификация моделей, вопросы устойчивости и управления. Последовательно изложены модели роста и развития отдельной популяции, модели взаимодействия двух и нескольких популяций, продукционные процессы в водных системах и в микробных сообществах, модели продукционного процесса растений.

Ризниченко Г. Ю.
Математические модели первичных процессов фотосинтеза
Итоги науки и техники. Серия Биофизика, т.31, 162 с. М., 1991.

Излагаются математический аппарат и принципы построения и идентификации моделей фотосинтетических процессов во фрагментах фотосинтетических реакционных центров бактерий и высших растений, оценки физических параметров процессов.

Рубин А. Б., Пытьева Н. Ф., Ризниченко Г. Ю.
Кинетика биологических процессов
М.: Изд-во МГУ, 1987. — 304 с.

Учебное пособие состоит из двух частей: первая часть содержит изложение математического аппарата, применяемого для построения кинетических моделей биологических процессов, вторая — описание кинетических моделей в экологии, ферментативном катализе, фотосинтезе. Главы, посвященные математическим моделям в экологии и ферментативном катализе, существенно переработаны по сравнению с 1-м изданием, вышедшем в 1977 г., в соответствии с достижениями в этих областях биологической кинетики. Приводятся сведения об основных свойствах организации и регулирования белковых катализаторов. Дано изложение современной теории ферментативных реакций в гомогенных растворах. Описаны математические модели первичных процессов фотосинтеза.

Рубин А. Б., Пытьева Н. Ф., Ризниченко Г. Ю.
Кинетика биологических процессов
М.: Изд-во МГУ, 1977. — 330 с.

В пособии излагается качественная теория дифференциальных уравнений как основа для анализа кинетики биологических процессов. Рассматривается применение этих уравнений к изучению различных биологических объектов, описываются математические модели колебательных процессов в биологии, эволюционных процессов, а также динамики популяций в экологических системах.

Более полный список моих публикаций можно найти на сайте кафедры биофизики.

Веденов М.Ф. и др. (ред.) Математическое моделирование жизненных процессов

Никаноров Б.А., Индюхин А.Ф. Математическое моделирование биотехнических систем

Котин В.В., Ершов Ю.А. Моделирование химического управления ростом клеточных популяций

М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 32с.: ил.

Данное издание является учебным пособием студентов МГТУ им. Баумана по курсу «Моделирование биологических процессов и систем» факультета «Биомедицинская техника».

Изложены теоретические основы математического описания и рекомендации по алгоритмической реализа.

Дромашко С.Е. Математическое и компьютерное моделирование в биологии

Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математическое моделирование гемодинамики в артериальной части мозгового кровообращения

Бегун П.И., Афонин П.Н. Моделирование в биомеханике

Злобин А.Е. Математическая метрика атома водорода как биологический и философский фактор

Статья. Опубликована в сборнике «Философские проблемы биологии и медицины», Выпуск 4, Фундаментальное и прикладное, МГМСУ, Московское философское общество, Москва, 2010 г., стр.117-120.

В статье показано, что в основе живой материи может лежать метрика, построенная на базе атома водорода. Приводится математическое выраж.

Филатова Н.Н. Моделирование биотехнических систем

Учебное пособие. — Тверь, ТГТУ, 2008. — 144 с.

Рассмотрены основные понятия общей теории моделирования, задачи разработки математических моделей аналитическими и экспе-риментально-статистическими методами, примеры моделей биологических элементов биотехнической системы, иллюстрирующиеся решениями с помощью программ Excel.

Петунин Ю.И. Приложение теории случайных процессов в биологии и медицине

Киев: Наукова думка, 1981. — 320 с.

В монографии изложены основы теории случайных процессов и описаны приложения ее в нейрофизиологии, физиологии дыхания, генетике, термодинамике живых организмов, кардиологии и клинической медицине. Рассмотрены математические модели синаптической передачи, механизмов памяти, транспорта .

Петунин Ю.И. Приложение теории случайных процессов в биологии и медицине

Киев: Наукова думка, 1981. — 320 с.

В монографии изложены основы теории случайных процессов и описаны приложения ее в нейрофизиологии, физиологии дыхания, генетике, термодинамике живых организмов, кардиологии и клинической медицине. Рассмотрены математические модели синаптической передачи, механизмов памяти, транспорта .

Английский с Джоном Раскином. Король Золотой реки / John Ruskin. The King of the Golden River – Джон Раскин

Популярная сказка Джона Раскина адаптирована в настоящем издании (без упрощения текста оригинала) по методу Ильи Франка. Уникальность метода заключается в том, что запоминание слов и выражений происходит за счет их повторяемости, без заучивания и необходимости использовать словарь.

Пособие способствует эффективному освоению языка, может служить дополнением к учебной программе. Предназначено для широкого круга лиц, изучающих английский язык и интересующихся английской культурой.

Еще статьи:

  • Расчет выплаты при дтп по осаго Как рассчитать стоимость выплаты по ОСАГО после ДТП Как проводится расчет стоимости выплат по ОСАГО при наступлении страхового случая? Этот вопрос задается всеми автовладельцами, которые попали в дорожно-транспортное […]
  • Неустойка алименты исковое Исковое заявление о взыскании неустойки по алиментам Законом предусмотрена ответственность за неуплату алиментов, поэтому исковое заявление о взыскании неустойки по алиментам подается в суд достаточно часто. Правовой […]
  • Заявление об оспаривании решения росреестра образец Административный иск об оспаривании решения органа власти Подаче административного искового заявления об оспаривании решения органа власти, как правило, предшествует обращение в этот орган, получение официального […]
  • Вентиляция пособие Год публикации: 2010 Библиографическая ссылка:: Васильев В.Ф., Иванова Ю.В., Суханова И.И. Отопление и вентиляция жилого здания: Учебное пособие. - Спб.: СПбГАСУ, 2010. - 72 с. Для того, чтобы оценить ресурс, […]
  • Компенсация в позвоночнике Компенсация в позвоночнике Семинары о движении для тренеров Москва, ул. Усачева, д.35с1, м. Спортивная Кутузовский пр-т, 36 стр. 51, м. Кутузовская +7 (909) 679-34-98 +7 (909) 679-34-96 Компенсация — это […]
  • Нотариус черкашин михаил курск Курск. Нотариусу Черкашину вынесен приговор 12 октября 2018 в 12:10 Фото 2gis Сегодня в Кировском районном суде поставили точку в уголовном деле, которое было возбуждено в мае 2017 года. По версии следствия 2 мая того […]
Математическое моделирование биологических процессов учебное пособие